Lý thuyết và các dạng bài tập

Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập tài liệu Bất phương trình mũ: Lý thuyết và các dạng bài tập. Tài liệu gồm vđầy đủ lý thuyết, phương pháp giải các dạng bài tập có lời giải chi tiết từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh ôn luyện kiến thức, nâng cao kĩ năng làm bài tập môn Toán 12.

Bất phương trình mũ: Lý thuyết và các dạng bài tập

1. Bất phương trình mũ cơ bản

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b ( hoặc ax < b; axb; axb) với a > 0 và a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình ax > b

+ Nếu b ≤ 0 tập nghiệm của bất phương trình là  vì ax > 0b  ;  x

+ Nếu b > 0 thì tập nghiệm của bất phương trình tương đương ax  >alogab.

Với a > 1, tập nghiệm của bất phương trình là x > logab.

Với 0 <  a < 1, tập nghiệm của bất phương trình là x < logab.

– Ví dụ 1.

a) 5x  >  125x > log5125x >  3.

b) 13x  >27x<log1327x<  3

Kết luận. Tập nghiệm của bất phương trình ax > b được cho trong bảng sau:

Lý thuyết Bất phương trình mũ và bất phương trình logarit chi tiết – Toán lớp 12 (ảnh 1)

2. Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

 Phương pháp giải

• Bất phương trình dạng af(x) > ag(x) (a > 0; a ≠ 1)

+ Nếu a > 1 thì af(x) > ag(x) ⇔ f(x) > g(x).

+ Nếu 0 < a < 1 thì af(x) > ag(x) ⇔ f(x) < g(x).

• Bất phương trình dạng af(x) > b (a > 0; a ≠ 1)

+ Nếu b ≤ 0 thì ax > b ⇔ x ∈ R

+ Nếu a > 1 thì ax > b ⇔ x > logab

+ Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì ax > b ⇔ x < logab

• Bất phương trình dạng ax > b (a > 0; a ≠ 1)

+ Nếu b ≤ 0 thì ax < b ⇔ x ∈ ø

+ Nếu a > 1; b > 0 thì ax < b ⇔ x < logab

+ Nếu 0 < a < 1; b > 0 thì ax < b ⇔ x > loga b

* Tương tự với bất phương trình dạng:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

* Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì: aM > aN ⇔ (a − 1)(M − N) > 0.

* Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

+ Đưa về cùng cơ số.

+ Đặt ẩn phụ.

+ Sử dụng tính đơn điệu của hàm số y= f( x) có tập xác định D:

Nếu hàm số đồng biến trên D thì f(u) < f(v) ⇔ u < v.

Nếu hàm số nghịch biến trên D thì f(u) < f (v) ⇔ u > v.

3. Phương pháp giải bất phương trình mũ

A. Phương pháp giải

Bất phương trình mũ cơ bản có dạng ax > b (hoặc ax ≥ b, ax < b, ax ≤ b) với a > 0, a ≠ 1.

Ta xét bất phương trình có dạng ax > b.

    • Nếu b ≤ 0, tập nghiệm của bất phương trình là R, vì ax > b, ∀x ∈ R..

Xem thêm:  Khám phá: Mệnh Hỏa hợp mệnh gì? Giải mã tất tần tật về mệnh Hoả

    • Nếu b > 0 thì bất phương trình tương đương với ax > alogab.

Với a > 1, nghiệm của bất phương trình là x > loga b.

Với 0 < a < 1, nghiệm của bất phương trình là x < loga b.

Ta minh họa bằng đồ thị sau:

    • Với a > 1, ta có đồ thị sau.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    • Với 0 < a < 1, ta có đồ thị sau.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Lưu ý:

1. Dạng 1:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Dạng 2:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

3. Dạng 3: af(x) > b(*)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

4. Dạng 4: af(x) < b(**)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Lưu ý: Khi giải bất phương trình mũ, ta cần chú ý đến tính đơn điệu của hàm số mũ.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Tương tự với bất phương trình dạng:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Trong trường hợp cơ số a có chứa ẩn số thì:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ta cũng thường sử dụng các phương pháp giải tương tự như đối với phương trình mũ:

    + Đưa về cùng cơ số.

    + Đặt ẩn phụ.

    + Sử dụng tính đơn điệu:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau 9x-1-36.3x-3+3 ≤ 0

Hướng dẫn:

Biến đổi bất phương trình (1) ta được

(1) ⇔ (3x-1)2-4.3x-1+3 ≤ 0 (2)

Đặt t = 3x-1 (t > 0), bất phương trình (2) trở thành t2-4t+3 ≤ 0 (3)

(3) ⇔ 1 ≤ t ≤ 3

Suy ra: 1 ≤ 3x-1 ≤ 3 ⇔ 0 ≤ x-1 ≤ 1 ⇔ 1 ≤ x ≤ 2

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = [1;2]

Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hướng dẫn:

Vì x2+1/2 > 0 nên ta có các trường hợp sau

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

4. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải bất phương trình 3x2 − 9x + 6 > 3x − 3

A. 1 < x < 9    B. x > 1    C. x < 9    D. x > 9 hoặc x < 1

Đáp án: D

Bất phương trình 3x2 − 9x + 6 > 3x − 3

⇔ x2 − 9x + 6 > x − 3 (vì cơ số 3 > 1).

⇔ x2 − 10x + 9 > 0

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải


Bài 2.Có bao nhiêu giá trị nguyên của x thỏa mãn bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

A. 6    B. 8    C. 7    D. 9

Đáp án: C

Điều kiện: x ∈ R (*)

Ta có: Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

⇔ x2 − 6x + 4 < 4x − 5 (vì cơ số Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải )

⇔ x2 − 10x+ 9 < 0 hay 1 < x < 9

Mà x nguyên nên x ∈ { 2, 3, 4.., 7, 8}. Vậy có 7 giá trị nguyên của x thỏa mãn.


Bài 3. Bất phương trình 4x2 − 6x − 16 > 16x + 2 có số nghiệm nguyên dương ?

A.11    B. 0    C.1    D. Vô số.


Bài 4. Giải bất phương trình 32x+1 > 10

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Đáp án: B

Điều kiện: x ∈ R (*)

Ta có: 32x+1 > 10 ⇔ 2x + 1 > log310

⇔ 2x > log310 − 1

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải


Bài 5. Giải bất phương trình 2x + 2x+1 > 3x + 3x+ 2

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Đáp án: A

Điều kiện: x ∈ R (*)

Bất phương trình: 2x + 2x+1 > 3x + 3x+ 2

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải


Bài 6. Tập nghiệm của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải 

A. x ∈ (−∞; 5).    B. x ∈ (−∞; 5)    C. x ∈ (−5; +∞)    D. x ∈ (5; +∞)

Đáp án: A

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải


Bài 7. Tập nghiệm của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải 

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải



Bài 8. Tập nghiệm của bất phương trình 16x − 4x − 6 ≤ 0 là

A. x ≤ log43.    B. x > log43.    C. x ≥ 1.    D. x ≥ 3

Đáp án: A

Điều kiện: x ≠ −1

Ta có: 16x − 4x − 6 ≤ 0 ⇔ 42x − 4x − 6 ≤ 0

Đặt t= 4x ( t > 0), khi đó bất phương trình đã cho tương đương với:

t2 − t − 6 ≤ 0 ⇔ −2 ≤ t ≤ 3

Mà t > 0 nên 0 < t ≤ 3 ⇔ x ≤ log43


Bài 9. Tập nghiệm của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải là:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Đáp án: A

Ta có:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Đặt t= 3x > 0, khi đó ( *) trở thành:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải


Bài 10. Tập nghiệm của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải là:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Đáp án: A


Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Bài 11. Tập nghiệm của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải là:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải



Bài 12. Tập nghiệm của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải là:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Đáp án: C

Ta có:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Đặt t=2x (t > 0 ) , khi đó bất phương trình đã cho tương đương với

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải


Bài 13. Tập nghiệm của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải là:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Đáp án: A

Ta có:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải


Bài 14. Tập nghiệm của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải là:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải



Bài 15. Tập nghiệm của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải là:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải



Bài 16. Tập nghiệm của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải là:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải



Bài 17. Tập nghiệm của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải là:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải



Bài 18. Cho bất phương trình: Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải. Tìm tập nghiệm của bất phương trình.

A. S = (−1; 0] ∪ (1; +∞)    B. S = (−1; 0] ∩ (1; +∞)

C. S = (−∞; 0]    D. S = (−∞; 0)

Xem thêm:  Khám phá: Nốt ruồi trên môi nam nữ là tốt hay xấu? có ý nghĩa gì?


Bài 19. Với giá trị nào của tham số m thì bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giảicó nghiệm?

A. m ≤ 2.    B. m ≥ 4.    C. m ≤ 4.    D. m ≥ 1

Đáp án: C

Chia hai vế của bất phương trình cho 3sin2x > 0 , ta được

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Xét hàm số Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải là hàm số nghịch biến.

Ta có: 0 ≤ sin2x ≤ 1 nên 1 ≤ y ≤ 4

Vậy bất phương trình có nghiệm khi m ≤ 4.


Bài 20. Cho bất phương trình: 9x + ( m − 1).3x + m > 0 (1). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình (1) nghiệm đúng ∀x > 1 .

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Đáp án: A

Đặt t = 3x ( t > 0) .Vì x > 1 nên t > 3.

Bất phương trình đã cho thành: t2 + (m − 1)t + m > 0 nghiệm đúng ∀t ≥ 3

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

nghiệm đúng ∀t > 3 .

Xét hàm số

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Hàm số đồng biến trên [3; +∞) và Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải.

Yêu cầu bài toán tương đương

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải


Bài 21. Cho hàm số Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải và g(x)=5x + 4x. ln5. Giá trị nguyên lớn nhất của x sao cho f’(x) < g’(x) là.

A. −2    B. −1    C. 1    D. 2

Đáp án: B

Ta có:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Khi đó: f’(x) < g’(x) ⇔ 52x+1.ln 5 < (5x + 4).ln 5

⇔ 52x+1 < 5x +4 ⇔ 5.52x − 5x − 4 < 0

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Do đó, giá trị nguyên lớn nhất thỏa mãn đầu bài là x = −1.


Bài 22. Gọi x0 là nghiệm nhỏ nhất của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải . Tìm x0 ?

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải



Bài 23. Số nghiệm nguyên của bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải là.

A. 2    B. 4    C. 3    D. vô số.



Bài 24. Cho bất phương trình Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải . Gọi x1, x2 lần lượt là nghiệm nguyên lớn nhất và nhỏ nhất của bất phương trình. Khi đó x1 + x2 bằng bao nhiêu?

A. < 2    B. 1    C. 0    D. < 1



Bài 25. Tìm số nguyên lớn nhất của m để bất phương trình: 9x − 2(m + 1).3x − 3 − 2m > 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ R

A. m = −1    B.m = −2    C. m = 0    D. m = −3

Đáp án: A

Đặt t= 3x ; (t > 0).

Khi đó yêu cầu bài toán trở thành: Tìm số nguyên lớn nhất của m để bất phương trình:

t2 − 2(m + 1)t − 3 − 2m > 0 đúng với mọi m (*)

Cách 1:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Suy ra, số nguyên lớn nhất của m thỏa mãn là m = −1.

Cách 2:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải


Bài 26. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 4x − 2x − m ≥ 0 có nghiệm đúng với mọi x

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Đáp án: C

Đặt t =2x ( t > 0). Khi đó bất phương trình có dạng: t2 < t < m ≥ 0

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Ta có

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

BBT:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Khi đó:

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải

Vậy

Dạng bài tập Bất phương trình mũ trong đề thi Đại học có lời giải


Related Posts

SYM Elegant 50cc, xe số giá rẻ, siêu tiết kiệm xăng mới nhất 2023

1694572635 Gửi tới các bạn bài viết SYM Elegant 50cc, xe số giá rẻ, siêu tiết kiệm xăng. Hi vọng sẽ hữu ích cho các bạn. SYM…

Xe ô tô 7 chỗ cũ Fortuner, khoản đầu tư giá rẻ hoàn hảo mới nhất 2023

1693994541 Gửi tới các bạn bài viết Xe ô tô 7 chỗ cũ Fortuner, khoản đầu tư giá rẻ hoàn hảo. Hi vọng sẽ hữu ích cho…

Buôn bán xe đạp để kinh doanh cần lưu ý những gì? mới nhất 2023

1691677367 Gửi tới các bạn bài viết Buôn bán xe đạp để kinh doanh cần lưu ý những gì?. Hi vọng sẽ hữu ích cho các bạn….

NỖI KHỔ BỊ VẼ VẾT BÚT XÓA TRÊN XE Ô TÔ VÀ HƯỚNG GIẢI QUYẾT mới nhất 2023

1691398475 Gửi tới các bạn bài viết NỖI KHỔ BỊ VẼ VẾT BÚT XÓA TRÊN XE Ô TÔ VÀ HƯỚNG GIẢI QUYẾT. Hi vọng sẽ hữu ích…

3 Lưu ý Vàng Khi Thuê Xe Tự Lái Bạn Phải Biết mới nhất 2023

1690945003 Gửi tới các bạn bài viết 3 Lưu ý Vàng Khi Thuê Xe Tự Lái Bạn Phải Biết. Hi vọng sẽ hữu ích cho các bạn….

Khám phá: LƯU NGAY 99+ Ảnh Meme Cảm Ơn CƯỜI RỤNG RỐN

1690904669 sẽ gửi tới các bạn bài viết LƯU NGAY 99+ Ảnh Meme Cảm Ơn CƯỜI RỤNG RỐN. Hi vọng sẽ hữu ích cho các bạn. Những…

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *